如何计算y=ln(5x²+2x+5)的导数
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通过对数函数导数公式、导数定义以及函数乘积和函数商的求导法则，介绍y=ln(5x²+2x+5)的一阶、二阶和三阶导数的主要计算步骤。
一阶导数
※.对数导数计算
∵y=ln(5x²+2x+5),
∴dy/dx=(5x²+2x+5)'/(5x²+2x+5)
=(10x+2)/(5x²+2x+5)。
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※.导数定义法计算
∵y=ln(5x²+2x+5),
∴dy/dx
=lim(t→0){ln[5(x+t)²+2(x+t)+5]-ln(5x²+2x+5)}/t,
=lim(t→0)ln{[5(x+t)²+2(x+t)+5]/(5x²+2x+5)}/t,
=lim(t→0)ln[(5x²+2x+5+10xt+5t²+2t)/(5x²+2x+5)]/t,
=lim(t→0)ln{1+[(10xt+5t²+2t)/(5x²+2x+5)]^(1/t),
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=lim(t→0){ln[1+[(10xt+5t²+2t)/(5x²+2x+5)]^[(5x²+2x+5)/(10xt+5t²+2t)]}^[(10xt+5t²+2t)/(5x²+2x+5)t],
=lne^lim(t→0)[(10xt+5t²+2t)/(5x²+2x+5)t],
=lim(t→0)[(10x+5t+2)/(5x²+2x+5)]
=(10x+2)/(5x²+2x+5)。
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END
二阶导数计算
※.函数商的求导
∵dy/dx=(10x+2)/(5x²+2x+5)，
∴d²y/dx²=[10(5x²+2x+5)-(10x+2)(10x+2)]/(5x²+2x+5)²,
=(50x²+20x+50-100x²-40x-4)/(5x²+2x+5)²,
=(-50x²-20x+50-4)/(5x²+2x+5)²,
=-(50x²+20x-46)/(5x²+2x+5)²。
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※.函数乘积的求导
∵y'=(10x+2)/(5x²+2x+5)
∴(5x²+2x+5)y'=10x+2,两边同时对x求导，有：
(10x+2)y'+(5x²+2x+5)y''=10,
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将y'代入上式得：
(10x+2)²/(5x²+2x+5)+(5x²+2x+5)y''=10,
(5x²+2x+5)y''=10-(10x+2)²/(5x²+2x+5),
y''=[10(5x²+2x+5)-(10x+2)²]/(5x²+2x+5)²,
=-(50x²+20x-46)/(5x²+2x+5)²。
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END
三阶导数计算：
∵d²y/dx²=-(50x²+20x-46)/(5x²+2x+5)²，
∴d3y/dx3=-[(100x+20)(5x²+2x+5)²-2(50x²+20x-46)(5x²+2x+5)(10x+2)]/(5x²+2x+5)⁴,
=2[(50x²+20x-46)(10x+2)-(50x+10)(5x²+2x+5)]/(5x²+2x+5)²,
=4(125x²+75x²-345x-71)/(5x²+2x+5)².
END