y=ln(5x²+2x+2)的导数计算
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通过对数函数导数公式、导数定义以及函数乘积和函数商的求导法则，介绍y=ln(5x²+2x+2)的一阶、二阶和三阶导数的主要计算步骤。
方法/步骤
一阶导数：
※.对数导数计算
∵y=ln(5x²+2x+2),
∴dy/dx=(5x²+2x+2)'/(5x²+2x+2)
=(10x+2)/(5x²+2x+2)。
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※.导数定义法计算
∵y=ln(5x²+2x+2),
∴dy/dx
=lim(t→0){ln[5(x+t)²+2(x+t)+2]-ln(5x²+2x+2)}/t,
=lim(t→0)ln{[5(x+t)²+2(x+t)+2]/(5x²+2x+2)}/t,
=lim(t→0)ln[(5x²+2x+2+10xt+5t²+2t)/(5x²+2x+2)]/t,
=lim(t→0)ln{1+[(10xt+5t²+2t)/(5x²+2x+2)]^(1/t),
=lim(t→0){ln[1+[(10xt+5t²+2t)/(5x²+2x+2)]^[(5x²+2x+2)/(10xt+5t²+2t)]}^[(10xt+5t²+2t)/(5x²+2x+2)t],
=lne^lim(t→0)[(10xt+5t²+2t)/(5x²+2x+2)t],
=lim(t→0)[(10x+5t+2)/(5x²+2x+2)]
=(10x+2)/(5x²+2x+2)。
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二阶导数计算
※.函数商的求导
∵dy/dx=(10x+2)/(5x²+2x+2)，
∴d²y/dx²=[10(5x²+2x+2)-(10x+2)(10x+2)]/(5x²+2x+2)²,
=(50x²+20x+20-100x²-40x-4)/(5x²+2x+2)²,
=(-50x²-20x+20-4)/(5x²+2x+2)²,
=-(50x²+20x-16)/(5x²+2x+2)²。
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※.函数乘积的求导
∵y'=(10x+2)/(5x²+2x+2)
∴(5x²+2x+2)y'=10x+2,两边同时对x求导，有：
(10x+2)y'+(5x²+2x+2)y''=10,
将y'代入上式得：
(10x+2)²/(5x²+2x+2)+(5x²+2x+2)y''=10,
(5x²+2x+2)y''=10-(10x+2)²/(5x²+2x+2),
y''=[10(5x²+2x+2)-(10x+2)²]/(5x²+2x+2)²,
=-(50x²+20x-16)/(5x²+2x+2)²。
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三阶导数计算：
∵d²y/dx²=-(50x²+20x-16)/(5x²+2x+2)²，
∴d³y/dx²=-[(100x+20)(5x²+2x+2)²-2(50x²+20x-16)(5x²+2x+2)(10x+2)]/(5x²+2x+2)⁴,
=2[(50x²+20x-16)(10x+2)-(50x+10)(5x²+2x+2)]/(5x²+2x+2)²,
=4(125x²+75x²-120x-26)/(5x²+2x+2)².
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