z=10x³y²-xy³+xy+2的所有一二三阶偏导数

一阶偏导数：

dz/dx=10y²*3x²-y³+y=30x²y²-y³+y,

dz/dy=10x³*2y-x*3y²+x=20yx³-3xy²+x。

二阶偏导数：

∵dz/dx=30x²y²-y³+y,

∴d²z/dx²=30y²*2x-0+0=60xy²,

d²z/dxdy=30x²*2y-3y²+1=60yx²-3y²+1;

∵dz/dy=20yx³-3xy²+x，

∴d²z/dy²=20x³x*2y+0=20x³-6xy,

d²z/dydx=20y*3x²-3y²+1=60yx²-3y²+1。

三阶偏导数

∵d²z/dx²=60xy²，

∴d³z/dx³=60y²，

d³z/dx²dy=60x*2y=120xy①；

∵d²z/dxdy=60yx²-3y²+1，

∴d³z/dxdydx=d³z/dx²dy=60y*2x-0=120xy②,

d³z/dxdydy=60x²-3*2y=60x²-6y③；

∵d²z/dy²=20x³-6xy,

∴d³z/dy³=0-6x=-6x,

d³z/dy²dx=20*3x²-6y=60x²-6x④;

∵d²z/dydx=60yx²-3y²+1，

∴d³z/dydxdx=60y*2x-0=120xy⑤,

d³z/dydxdy=60x²-3*2y=60x²-6y⑥。

可见：①=②=⑤，③=④=⑥。