实数x,y,z满足椭球方程计算x+y+z的取值范围A21

柯西不等式法:

∵(x^2/3+y^2/2+z^2/3)*(3+2+3)

≥(x+y+z)^2，

∴1*(3+2+3)≥(x+y+z)^2。

即：-2√2≤x+y+z≤2√2。

所以所求代数式的取值范围为：

[-2√2,2√2]。

换元法：

根据已知条件x^2/3+y^2/2+z^2/3=1，设

x=√3sinasinb,

y=√2sinacosb，

z=√3cosa，此时有：

x+y+z

=(√3sinb+√2cosb)sina+√3cosa

则|x+y+z|≤

√[(√3sinb+√2cosb)^2+3]，

=√(3+2+3)=2√2，

即：

-2√2≤x+y+z≤2√2。

所以所求代数式的取值范围为：

[-2√2,2√2]。

函数微分法：

设所求x+y+z的最大值为t，则：

x+y+z=t,即：

z=t-x-y，其中t为数值，所以：

对z关于x,y的函数，z对x的斜率即偏导数=-1，

z对y的偏导数即斜率也等于-1。

对已知条件求全微分得：

2xdx/3+2ydy/2+2zdz/3=0,

化简得全微分为：

dz=-3xdx/3z-3ydy/2z,则：

-3x/3z=-1,-3y/2z=-1,

则x=z,y=2/3*z,代入已知条件得：

z^2=3/8,即z=±√3/8,取正时得最大值，

所以x+y+z的最大值

=z+2/3*z+z=2√2，得值域为：[-2√2,2√2]

多元函数法：

设F(x,y,z)=x+y+z-λ(x^2/3+y^2/2+z^2/3-1),

分别对x,y,z,λ求偏导数，得：

Fx=1-2λx/3,Fy=1-2λy/2,Fz=1-2λz/3,

Fλ=x^2/3+y^2/2+z^2/3-1。

令Fx=Fy=Fz= Fλ=0,则：

x=3/2λ,y=2/2λ,z=3/2λ

代入到Fλ=0方程中，则：

3/4λ^2+2/4λ^2+3/4λ^2=1,

解得：2λ=±√8.

此时代入，得：

x+y+z的最大值

=(3+2+3)/2λ

=(3+2+3)/√8

=2√2。

同理最小值为相反数，即取值范围为：

[-2√2,2√2]。