求椭圆x²/5+y²/4=1内接矩形的最长周长

方法一：三角换元法

设矩形与椭圆在第一象限的交点为A(m,n),则：

则矩形的周长C=4(m+n),又因为点A在椭圆上，有：

m²/5+n²/4=1,

设m=√5sint，n=2cost，t∈[0,π/2],

代入周长表达式知：

C=4(√5sint+2cost)

=4*3 [(√5/3)sint+(2/3)cost]

=4*3sin(t+φ),其中tanφ=√4/5.

可知当sin(t+φ)=1时，周长有最大值，即：

Cmax=4*3.

方法二：判别式法

∵C=4(m+n)，

∴m=C/4-n,代入椭圆方程知：

(C/4-n)²/5+n²/4=1,

4(C/4-n)²+5n²=20,

16*9n²-32Cn+4C²+16*5*n²-16*20=0,

看成为n的二次方程，由判别式知：

(32C)²-4*16*9(4C²-16*20)≥0，即：

C²≤16*9,可知Cmax=4*3.

方法三：多元函数法

设F(m,n)=4(m+n)- λ(m²/5+n²/4-1),

分别求F对m，n，λ的偏导数为：

Fx=4-2mλ/5,Fy=4-2nλ/4,

Fλ= m²/5+n²/4-1。

令Fx=Fy=Fλ=0，则m/5=n/4,

代入m²/5+n²/4-1=0，则：

m=5/3，n=4/3;则

周长Cmax

=4*(5/3+4/3)

=4*3。