求椭圆x²/12+y²/11=1内接矩形的最长周长步骤

方法一：三角换元法

设矩形与椭圆在第一象限的交点肺付关为A(m,n),则：

则矩形的周长C=4(m+n),又因为点A在椭圆上，有：

m²/12+n²/11=1,

设m=2√3sint，n=√11cost，t∈[0,π/2],

代入周长表达式知：

C=4(2√3sint+√11cost)

=4*√23 [(2√3/√23)sint+(√11/√23)cost]

=4*√23sin(t+φ),其中tanφ=√11/12.

可知当sin(t+φ)=1时，周长有最大值，即：

Cmax=4*√23.

代入周长表达式知：

C=4(2√3sint+√11cost)

=4*√23 [(2√惹醒3/√23)sint+(√11/√23)cost]

=4*√23sin(t+φ),其中tanφ=√11/12.

可知当sin(t+φ)=1时，周长有最大值，即：

Cmax=4*√23.

方法二：判别式法

∵C=4(m+n)，

∴m=C/4-n,代入椭圆方程知：

(C/4-n)²/12+n²/11=1,

11(C/4-n)²+12n²=132,

16*23n²-88Cn+11C²+16*12*n²-16*132=0,

看成为n的二次方程，由判别式知：

(88C)²-4*16*23(11C²-16*132)≥0，即：捧怕

C²≤16*23,可知Cmax=4*√23.

方法三：多元函数法

设F(m,n)=4(m+n)- λ(m²/12+n²/11-1),

分别求F对m，n，λ的偏导数为：

Fx=4-2mλ/12,Fy=4-2nλ/11,

Fλ= m²/12+n²/11-1。

令Fx=Fy=Fλ=0，则m/12=n/11,

代入m²/12+n²/11-1=0，则：

m=12/√23，n=11/√23;则

周长Cmax

=4*(12/√23+11/√23)

=4*√23。