用Desmos绘制极坐标函数的图像

        先来画几个漂亮的极坐标图形。

        玫瑰线：

        三叶玫瑰线——r=sin(3θ)和r=cos(3θ)

        四叶玫瑰线——r=sin(2θ)和r=cos(2θ)

        五叶玫瑰线——r=sin(5θ)和r=cos(5θ)

        考虑一般情形r=sin(aθ)，当a取不同的值的时候，会是什么情形呢？让我们来看下面的动画效果：

r=\sin (a\theta )和 r=\cos (a\theta )

        当a从-10增加到10，曲线的形状会发生剧烈的变化。

        而当a分别位于分子、分母的时候，又是截然不同的变化：

r=\sin (\frac{\theta }{a}) 和 r=\cos (\frac{\theta }{a})

        让玫瑰线绕原点旋转起来。

r=sin(3θ+a)

        Desmos输入法是：

r=\sin (a+3\theta )

        其中，a是曲线的旋转参数，当a从0变为2π，代表曲线绕原点顺时针旋转了一圈。

        看看玫瑰线是怎么画出来的！

r=r(θ){0<θ<a}

        把a视为绘图参数，整个图形随着a的增加，慢慢的显现出来。

        以“四叶玫瑰线”为例，Desmos输入：

r=\sin (2\theta )\left\{0<\theta <a\right\}

        同样的，所有的极坐标图形的画图过程，都可以用这种方法看出它的画图过程，只不过需要改变一下a的取值范围。

        心形线。

        Desmos输入：

r=1+\sin \left(\theta \right)

        及其它类型，如图。

        另一种心形线：

r=\arccos \left(\sin \left(\theta \right)\right)

        费马螺旋线。

        其方程式是：r^2=θ，

        画图过程的Desmos输入：

r=\sqrt{\theta }\left\{0<\theta <a\right\}，

        遗憾的是，这个图形在Desmos里面只能画出0到12π的范围！

        阿基米德螺线的画图过程。

        Desmos分别输入：

r=\theta \left\{0<\theta <a\right\}

（其中，a从0到10π）；

        思考一下，怎么让阿基米德螺线绕着原点旋转？

        双曲螺旋线，是倒数形式的阿基米德螺线。Desmos输入：

r=\frac{1}{\theta }

        而它的画图过程是：

r=\frac{1}{\theta }\left\{0<\theta <a\right\}

（其中，a的范围是从1.5到10π）。

        伯努利双扭线的出图过程。

        极坐标方程是：r^2=sin(2θ)和r^2=cos(2θ)

        但是，Desmos不能这样输入，左边必须是r，不可以用r的其它形式。输入法如下：

r=\sqrt{\sin \left(2\theta \right)}\left\{0<\theta <a\right\}

r=\sqrt{\cos \left(2\theta \right)}\left\{0<\theta <a\right\}

        未命名曲线。

r=2sin(θ)+4cos(2θ)

        它的绘图过程如下：

r=2\sin \left(\theta \right)+4\cos \left(2\theta \right)\left\{0<\theta <2a\right\}

        其中，a只需要从0到π，就可以把图画完整！

        用b作为它的旋转参数，也就是把自变量θ变成θ+b：

r=2\sin \left(\theta +b\right)+4\cos \left(2\left(\theta +b\right)\right)\left\{0<\theta <2a\right\}

        旋转过程如下图。

        考虑这样的极坐标函数：

r=sin(θ)+sin(2θ)+sin(3θ)的图形。

        这个图形的画图过程是：

r=\sin \left(\theta \right)+\sin \left(2\theta \right)+\sin \left(3\theta \right)\left\{0<\theta <a\right\}

        再把正弦函数全部替换为余弦函数，就成为另一番情形，Desmos输入：

r=\cos \left(\theta \right)+\cos \left(2\theta \right)+\cos \left(3\theta \right)\left\{0<\theta <a\right\}

        看看原点附近的细节——放缩功能——鼠标放在原点附近，滚动鼠标中间的滑轮。

        如果把θ前面的系数变成不同的参数呢？

r=\cos \left(a\theta \right)+\cos \left(b\theta \right)+\cos \left(c\theta \right)

        分别让a、b、c运动，产生如下动态图。

        如果让a、b、c以不同的速度一起运动，会是什么情景？自己去试试！

        怎么让这样的曲线绕着原点旋转起来呢？

        只需要把自变量θ置换为θ+d，其中d是旋转参数：

r=\cos \left(a\left(d+\theta \right)\right)+\cos \left(b\left(d+\theta \right)\right)+\cos \left(c\left(d+\theta \right)\right)

        当a=b=1，c=3.1时，情形如下图。

        如果正弦函数和余弦函数交叉使用的话，又会产生很多不同的情形。只举一个例子，模仿上一步的旋转图形：

r=\cos \left(a\left(d+\theta \right)\right)+\sin \left(b\left(d+\theta \right)\right)+\cos \left(c\left(d+\theta \right)\right)

        上图的画图过程是：

r=\cos \left(a\theta \right)+\sin \left(b\theta \right)+\cos \left(c\theta \right)\left\{0<\theta <d\right\}

        其中，d是画图过程参数。

        自己去看看密集区的细节吧！

        如果不止三项，而是更多项呢？

        四项余弦之和：

r=\cos \left(a\theta \right)+\cos \left(b\theta \right)+\cos \left(c\theta \right)+\cos \left(d\theta \right)

        五项余弦之和：

r=\cos \left(a\theta \right)+\cos \left(b\theta \right)+\cos \left(c\theta \right)+\cos \left(d\theta \right)+\cos \left(f\theta \right)

（注意，字母e是常数，因此引进的新参数不是e，而是f）

        仔细看a、b、c、d、f的取值。

        如果θ替换为θ的其它函数形式，如θ的多项式、θ的多重正弦余弦嵌套等等，各种可能实在是太多了，无穷无尽。

        举个简单的例子：

r=\sin \left(\cos \left(2\theta \right)\right)+\cos \left(\sin \left(\theta \right)\right)\left\{0<\theta <a\right\}

        和

r=2\sin \left(\cos \left(3\theta \right)\right)+\cos \left(\sin \left(3\theta \right)\right)\left\{0<\theta <a\right\}

        可以说，任何方法，都不可能把所有情形对应的极坐标曲线全部显示出来。