详细计算y=(x+1)sin2x+cos^4(3x+5)的导数

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本文通过三角函数的导数公式以及函数乘积、函数和差的求导法则，介绍函数y=(x+1)sin2x+cos^4(3x+5)的一阶、二阶和三阶导数的计算步骤。

详细计算y=(x+1)sin2x+cos^4(3x+5)的导数

方法/步骤

  1. 1

    一阶导数计算：

    ∵y=(x+1)sin2x+cos^4(3x+5)

    ∴dy/dx

    =sin2x+2(x+1)cos2x+4cos^3(3x+5)*[-sin(3x+5)]*3

    =sin2x+2(x+1)cos2x-12cos^3(3x+5)*sin(3x+5).

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  3. 2

    二阶导数计算：

    dy/dx=sin2x+2(x+1)cos2x-12cos^3(3x+5)*sin(3x+5).

    再次求导，即可计算二阶导数，有：

    d^2y/dx^2

    =2cos2x+2cos2x-4(x+1)sin2x+108cos^2(3x+5)sin^2(3x+5)-36cos^3(3x+5)cos(3x+5)

    =4cos2x-4(x+1)sin2x+108cos^2 (3x+5)[1-cos^2(3x+5)]-36cos^4(3x+5)

    =4cos2x-4(x+1)sin2x+108cos^2 (3x+5)-108cos^4(3x+5)]-36cos^4(3x+5)

    =4cos2x-4(x+1)sin2x+108cos^2 (3x+5)-144cos^4(3x+5).

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  4. 3

    三阶导数计算：

    对二阶导数d^2y/dx^2再次对自变量x求导，则：

    d^3y/dx^3

    =-8sin2x-4sin2x-8(x+1)cos2x-648cos(3x+5)sin(3x+5)+1728cos^3(3x+5)sin(3x+5)

    =-12sin2x-8(x+1)cos2x+27cos(3x+5)sin(3x+5)[64cos^2(3x+5)-24].

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