实数x,y,z满足椭球方程计算x+y+z的取值范围A6

柯西不等式法:

∵(x^2/3+y^2/2+z^2/10)*(3+2+10)

≥(x+y+z)^2，

∴1*(3+2+10)≥(x+y+z)^2。

即：-√15≤x+y+z≤√15。

所以所求代数式的取值范围为：

[-√15,√15]。

函数微分法：

设所求x+y+z的最大值为t，则：

x+y+z=t,即：

z=t-x-y，其中t为数值，所以：

对z关于x,y的函数，z对x的斜率即偏导数=-1，

z对y的偏导数即斜率也等于-1。

对已知条件求全微分得：

2xdx/3+2ydy/2+2zdz/10=0,

化简得全微分为：

dz=-10xdx/3z-10ydy/2z,则：

-10x/3z=-1,-10y/2z=-1,

则x=3/10*z,y=1/5*z,代入已知条件得：

z^2=2/3,即z=±√2/3,取正时得最大值，

所以x+y+z的最大值

=3/10*z+1/5*z+z=√15，得值域为：[-√15,√15]

换元法：

根据已知条件x^2/3+y^2/2+z^2/10=1，设

x=√3sinasinb,

y=√2sinacosb，

z=√10cosa，此时有：

x+y+z

=(√3sinb+√2cosb)sina+√10cosa

则|x+y+z|≤

√[(√3sinb+√2cosb)^2+10]，

=√(3+2+10)=√15，

即：

-√15≤x+y+z≤√15。

所以所求代数式的取值范围为：

[-√15,√15]。

多元函数法：

设F(x,y,z)=x+y+z-λ(x^2/3+y^2/2+z^2/10-1),

分别对x,y,z,λ求偏导数，得：

Fx=1-2λx/3,Fy=1-2λy/2,Fz=1-2λz/10,

Fλ=x^2/3+y^2/2+z^2/10-1。

令Fx=Fy=Fz= Fλ=0,则：

x=3/2λ,y=2/2λ,z=10/2λ

代入到Fλ=0方程中，则：

3/4λ^2+2/4λ^2+10/4λ^2=1,

解得：2λ=±√15.

此时代入，得：

x+y+z的最大值

=(3+2+10)/2λ

=(3+2+10)/√15

=√15。

同理最小值为相反数，即取值范围为：

[-√15,√15]。